Question

（12分）已知橢圓，過點（m,0）作圓的切線交橢圓G于A，B兩點.

（1）求橢圓G的焦點坐標和離心率；

（2）將表示為m的函數，并求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ）|AB|的最大值為2.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設橢圓的方程，利用橢圓G經過點P( )，且一個焦點為(-，0)，建立方程，求得幾何量，即可求得橢圓G的方程；

（Ⅱ）由題意知，|m|≥1，分類討論：當m=±1時，|AB|=；當|m|＞1時，設l的方程代入橢圓方程，利用韋達定理，及l與圓x²+y²=1相切，可表示|AB|，利用基本不等式可求最值，從而可得結論．

解：（Ⅰ）由已知得所以

所以橢圓G的焦點坐標為離心率為

（Ⅱ）由題意知，.

當時，切線的方程，點A、B的坐標分別為

此時當m=－1時，同理可得

當時，設切線的方程為

由

設A、B兩點的坐標分別為，則

又由與圓

所以

由于當時，所以.

因為且當時，|AB|=2，

所以|AB|的最大值為2.

考點：本題主要考查了橢圓的性質與標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查弦長的計算，考查韋達定理的運用。

點評：解決該試題的關鍵是正確的運用韋達定理，同時利用設而不求的思想來得到坐標關系式，結合韋達定理消去參數得到弦長的值，運用函數思想求解其范圍。