Question

已知：平面α∩平面β=直線a．

α，β同垂直于平面γ，又同平行于直線b．

求證：(Ⅰ)a⊥γ；

(Ⅱ)b⊥γ．

Answer 1

解析:

證法一(Ⅰ)設α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ內任取一點P并于γ內作直線PM⊥AB，PN⊥AC．                                                             ——1分

∵ γ⊥α，

∴ PM⊥α．

而  aα，

∴ PM⊥a．

同理PN⊥a．            ——4分

又  PMγ，PNγ，

∴ a⊥γ．              ——6分

(Ⅱ)于a上任取點Q，過b與Q作一平面交α于直線a₁，交β于直線a₂．    ——7分

∵ b∥α，∴ b∥a₁．

同理b∥a₂．                                                         ——8分

∵ a₁，a₂同過Q且平行于b，

∵ a₁，a₂重合．

又  a₁α，a₂β，

∴ a₁，a₂都是α、β的交線，即都重合于a．                           ——10分

∵ b∥a₁，∴ b∥a．

而a⊥γ，

∴ b⊥γ．                                                         ——12分

注：在第Ⅱ部分未證明b∥a而直接斷定b⊥γ的，該部分不給分．

證法二(Ⅰ)在a上任取一點P，過P作直線a′⊥γ．                    ——1分

∵ α⊥γ，P∈α，

∴ a′α．

同理a′β．                      ——3分

可見a′是α，β的交線．

因而a′重合于a．                   ——5分

又  a′⊥γ，

∴ a⊥γ．                          ——6分

(Ⅱ)于α內任取不在a上的一點，過b和該點作平面與α交于直線c．同法過b作平面與β交于直線d．                                                      ——7分

∵ b∥α，b∥β．

∴ b∥c，b∥d．                                                    ——8分

又  cβ，dβ，可見c與d不重合．因而c∥d．

于是c∥β．                                                        ——9分

∵ c∥β，cα，α∩β=a，

∴ c∥a．                                                         ——10分

∵ b∥c，a∥c，b與a不重合(bα，aα)，

∴ b∥a．                                                          ——11分

而 a⊥γ，

∴ b⊥γ．                                                         ——12分

注：在第Ⅱ部分未證明b∥a而直接斷定b⊥γ的，該部分不給分．