Question

【題目】已知函數的定義域為，值域為，即，若，則稱在上封閉.

（1）分別判斷函數， 在上是否封閉，說明理由；

（2）函數的定義域為，且存在反函數，若函數在上封閉，且函數在上也封閉，求實數的取值范圍；

（3）已知函數的定義域為，對任意，若，有恒成立，則稱在上是單射，已知函數在上封閉且單射，并且滿足 ，其中（），，證明：存在的真子集，

，使得在所有（）上封閉.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：(1)根據在上封閉的定義，分別求出函數， 在上的值域，即可判斷是否封閉；（2）函數在D上封閉，則.函數在上封閉，則，得到： .從而問題轉化為： 在兩不等實根．（3）分兩種情況： 和，第一種情況顯然不成立，第二種情況，因為是單射，因此取一個，則是唯一的使得的根，換句話說考慮到，即，因為是單射，則這樣就有了.接著令，并重復上述論證證明..

試題解析：

（1）因為函數的定義域為，值域為，（取一個具體例子也可），

所以在上不封閉.

在上封閉

（2）函數在D上封閉，則.函數在上封閉，則，

得到： .

在單調遞增.

則 在兩不等實根．

，

故，解得．

另解： 在兩不等實根．令

在有兩個不等根，畫圖，由數形結合可知，

解得．

（3）如果，則，與題干矛盾.

因此，取，則.

接下來證明，因為是單射，因此取一個，

則是唯一的使得的根，換句話說

考慮到，即，

因為是單射，則

這樣就有了.

接著令，并重復上述論證證明..