Question

【題目】已知函數f(x)＝，x∈[1，＋∞).

(1)當a＝時，判斷并證明f(x)的單調性；

(2)當a＝－1時，求函數f(x)的最小值.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】 (1)當a＝時，f(x)＝＝x＋2＋＝x＋＋2.

函數f(x)在[1，＋∞)上是單調遞增函數，證明如下：

設x1，x2是[1，＋∞)上的任意兩個實數，且x1<x2，

則 .

因為，所以x1－x2<0，x1·x2>0，x1x2－>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).

所以函數f(x)在[1，＋∞)上是單調遞增函數.

(2)當a＝－1時，f(x)＝x－＋2.

由函數y1＝x和y2＝－在[1，＋∞)上都是單調遞增函數，結合單調性的性質，可得f(x)＝x－＋2在[1，＋∞)上是單調遞增函數.

當x＝1時，f(x)取得最小值f(1)＝1－1＋2＝2，

故函數f(x)的最小值為2.