Question

已知△OAB中，點D在線段OB上，且OD=2DB，延長BA到C，使BA=AC．設

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（1）用

a

，

b

表示向量

OC

，

DC

；
（2）若向量

OC

與

OA

+k

DC

共線，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由A是BC中點，得

OA

=

1

2

(

OB

+

OC

)，從而算出

OC

=2

a

-

b

，再由向量減法法則即可得到

DC

=2

a

-

5

3

b

；
（2）根據（1）的結論，可得

OA

+k

DC

關于向量

a

，

b

的表示式，而

OC

=2

a

-

b

，結合向量共線的充要條件建立關于k的方程組，解之即可得到實數k的值．

解答：解：（1）∵A為BC的中點，∴

OA

=

1

2

(

OB

+

OC

)，
可得

OC

=2

OA

-

OB

=2

a

-

b

，
而

DC

=

OC

-

OD

=

OC

-

2

3

OB

=2

a

-

5

3

b

（2）由（1），得

OA

+k

DC

=(2k+1)

a

-

5

3

k

b

，
∵

OC

與

OA

+k

DC

共線，設

OC

=λ(

OA

+k

DC

)
即2

a

-

b

=λ(2k+1)

a

+-

5

3

λk

b

，
根據平面向量基本定理，得

2=λ(2k+1) -1=- 5 3 λk

解之得，k=

3

4

．

點評：本題給出三角形中的向量，求向量的線性表示式并求實數k的值．著重考查了向量加減法的運算法則和平面向量共線的條件等知識，屬于基礎題．