Question

【題目】如圖，四棱臺中，底面是菱形，底面，且，，是棱的中點.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）推導出⊥BD．BD⊥AC．從而BD⊥平面AC，由此能證明．

（2）如圖，設AC交BD于點O，以O為原點，OA、OB、OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．利用向量法能求出二面角E﹣﹣C的余弦值．

證明：（1）因為⊥底面ABCD，所以⊥BD．

因為底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．

又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面A．

又由四棱臺ABCD﹣知，，A，C，四點共面．

所以BD⊥．

（2）如圖，設AC交BD于點O，依題意，∥OC且＝OC，

所以O∥C，且O＝C．所以O⊥底面ABCD．

以O為原點，OA、OB、OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．

則，

由，得B1（）．

因為E是棱BB1的中點，所以E（）,所以（），（﹣2，0，0）．

設（x，y，z）為平面的法向量，

則，取z＝3，得（0，4，3），

平面的法向量（0，1，0），

又由圖可知，二面角E﹣A1C1﹣C為銳二面角，

設二面角E﹣A1C1﹣C的平面角為θ，

則cosθ，

所以二面角E﹣A1C1﹣C的余弦值為．