Question

已知P（m，1）為拋物線C：x²=2ay（a＞0）上一點，點P到拋物線焦點的距離為．
（Ⅰ）求m，a的值；
（Ⅱ）設拋物線上一點B的橫坐標為t（t＞0），過B的直線交曲線C于另一點A，交x軸于N，過點A作AB的垂線交曲線C于D，連接DB交y于M，若直線MN的斜率是AB斜率的倍，求t的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據拋物線的定義利用點P（m，1）到其焦點的距離求得a，拋物線方程可得，進而把點P代入求得m．
（Ⅱ）由B（t，t²），設直線AB的方程為：y-t²=k（x-t），把直線AB的方程y-t²=k（x-t）代入拋物線x²=y，解得A（k-t，（k-t）²），由AD⊥AB，設直線AD的方程為，把代入代入拋物線x²=y，解得，由B（t，t²），D（t-（k+），[t-（k+）]²），則BD的方程為：=2t-（k+），令x=0，得到BD與y軸的交點坐標M（0，t（k+）-t²），由此能求出利用直線MN的斜率是AB斜率的倍，能求出t的最小值．
解答：解：（Ⅰ）根據拋物線定義，∵P到拋物線焦點的距離為．
∴P（m，1）到拋物線準線y=-的距離為．
∴，解得a=，
∴拋物線方程為x²=y，
將P（m，1）代入x²=y，
解得m=±1．
（Ⅱ）∵B的橫坐標為t（t＞0），∴B（t，t²），
設直線AB的方程為：y-t²=k（x-t），
把直線AB的方程y-t²=k（x-t）代入拋物線x²=y，并整理，得
x²-kx+kt-t²=0，
解得x=k-t，或x=t（舍）
∴A（k-t，（k-t）²），
∵AD⊥AB，
∴直線AD的方程為，
把代入代入拋物線x²=y，并整理，得
kx²+x-（k-t）（1+k²-kt）=0，
解得，或x_D=k-t（舍）
∵B（t，t²），D（t-（k+），[t-（k+）]²），
∴BD的方程為：=2t-（k+），
令x=0，得到BD與y軸的交點坐標M（0，t（k+）-t²），
在直線AB的方程y-t²=k（x-t）中，
令y=0，得到直線AB與x軸的交點N（t-，0），
∴直線MN的斜率k_MN==．
∵直線AB的斜率是k，且直線MN的斜率是AB斜率的倍，
∴=-，
整理，得k²-kt+2=0，
∴，
由題設條件知k＞0，
∴≥=2．
當且僅當，即k=時，．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意培養計算能力．