Question

已知實數a，b滿足：（a-1）³+2011（a-1）=2012，（b-1）³+2011（b-1）=-2012．則下列四個結論中正確的結論的序號是________．
①點（a，b）在一條定直線上；
②；
③a＞b；
④（a-1）（b-1）=2011．

Answer 1

①③
分析：令a-1=x，b-1=y，則：x³+2011x=2012，y³+2011y=-2012，兩方程相加可得：（x+y）（x²-xy+y²+2011）=0，從而可得a+b-2=0，故①正確；可求a=2，b=0，故②不正確；③正確；不正確．
解答：令a-1=x，b-1=y，則：x³+2011x=2012，y³+2011y=-2012
兩方程相加可得：（x+y）（x²-xy+y²+2011）=0，
∵x²-xy+y²+2011≠0，∴x+y=0，∴a+b-2=0，∴①正確
∵x³+2011x=2012，∴x³-1+2011（x-1）=0
∴（x-1）（x²+x+2012）=0
∵x²+x+2012≠0，∴x=1，∴a=2，故②不正確；
∵a+b-2=0，∴b=0，∴a＞b，故③正確；
∵（a-1）（b-1）=-1，∴④不正確
故答案為：①③
點評：本題考查合情推理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．