Question

【題目】如圖，設橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且0，若過 A，Q，F2三點的圓恰好與直線相切，過定點 M（0，2）的直線與橢圓C交于G，H兩點（點G在點M，H之間）.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設直線的斜率，在x軸上是否存在點P（，0），使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，請說明理由；（Ⅲ）若實數滿足，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）.

【解析】

試題（1）利用向量確定F1為F2Q中點，設Q的坐標為（-3c，0），因為AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，再由直線與圓相切得 解得c=1，利用橢圓基本量之間的關系求b；（2）假設存在，設方程，聯立方程組，消元后由判別式大于0可得出，又四邊形為菱形時，對角線互相垂直，利用向量處理比較簡單，，化簡得（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k=0，再由 代入化簡得：，

解得，利用均值不等式范圍；（3） 斜率存在時設直線方程，聯立消元，,再由，進行坐標運算，代入化簡，分離k與，利用k的范圍求，注意驗證斜率不存在時情況．

試題解析：（1）因為0,所以F1為F2Q中點

設Q的坐標為（-3c，0），因為AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，

且過A，Q，F2三點的圓的圓心為F1（-c，0），半徑為2c．

因為該圓與直線L相切，所以 解得c=1，所以a=2，故所求橢圓方程為．（2）設L1的方程為y=kx+2（k>0）由得（3+4k2）x2+16kx+4=0,

由△>0，得 所以k>1/2,設G（x1，y1），H（x2，y2），則所以（x1-m，y1）+（x2-m，y2）=（x1+x2-2m，y1+y2）=（x1+x2-2m，k（x1+x2）+4）（x2-x1，y2-y1）=（x2-x1，k（x2-x1））,由于菱形對角線互相垂直，因此所以（x2-x1）[（x1+x2）-2m]+k（x2-x1）[k（x1+x2）+4]=0,故（x2-x1）[（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k]=0因為k>0，所以x2-x1≠0所以（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k=0，即（1+k2）（x1+x2）+4k-2m=0，所以

,解得， 因為k>0，所以故存在滿足題意的點P且m的取值范圍是．（3）①當直線L1斜率存在時，設直線L1方程為y=kx+2，代入橢圓方程,得（3+4k2）x2+16kx+4=0 , 由△>0，得,設G（x1，y1），H（x2，y2）， 則,又，所以（x1，y1-2）=λ（x2，y2-2）， 所以x1=λx2， 所以,∴ ∴,整理得 ,因為， 所以 ,解得又0＜λ＜1，所以 ．②當直線L1斜率不存在時，直線L1的方程為x=0，

，，,所以 ．綜上所述， ．