Question

等差數列{a_n}的各項均為正整數，a₁=3，前n項和為S_n，等比數列{b_n}中，b₁=1，且b₂•S₂=16，{ban}是公比為4的等比數列
（1）求a_n與b_n
（2）設Cn=

1

S1

+

1

S2

+

1

S2

+…+

1

Sn

，若對任意正整數n，當m∈[-1，1]時，不等式t²-2mt+

3

4

＞C_n恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）（1）設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則d為正整數，a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1，
依題意有

ban+1

ban

=

q3+nd

q3+(n-1)d

=qd=4以及S₂b₂=（6+d）q=16，由此可導出a_n與b_n；
（2）首先利用等差數列的前n項和公式計算出數列的前n項和，然后裂項求和法求出和，最后利用不等式恒成立的條件即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）由已知可得

ban+1 ban = q3+nd q3+(n-1)d =qd=4 S2b2=(6+d)q=16

解得，q=2，d=2
∴a_n=3+（n-1）2=2n+1
∴b_n=2^n-1
（2）S_n=S_n=3+5++（2n+1）=n（n+2），
∵Cn=

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

[1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

]＜

3

4

由于m∈[-1，1]時，不等式t²-2mt+

3

4

＞C_n恒成立
∴

t2-2t≥0 t2+2t≥0

∴t≤-2或t≥2或t=0

點評：本題考查的是數列通項的求法與不等式的綜合問題．在解答的過程當中充分體現了解方程的思想、前n項和公式以及放縮法等知識．值得同學們體會反思．