Question

【題目】如圖1，平面五邊形是由邊長為2的正方形與上底為1，高為直角梯形組合而成，將五邊形沿著折疊，得到圖2所示的空間幾何體，其中.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（Ⅰ）以為原點，以平行于的方向為軸，平行于的方向為軸，建立空間直角坐標系.過點作的高，交于點，先證明出平面，設，根據，可求出，再利用向量法證明線線垂直，進而得到線面垂直；
（2）求出平面ABE的法向量、平面BCF的法向量，由即可求出線面角.

（1）以為原點，以平行于的方向為軸，平行于的方向為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

過點作的高，交于點.

由于，，

所以平面，所以，

又因為，，

所以平面.

設，由題設條件可得下列坐標：

，， ，，，.

，，由于，

所以，解得，

故，.

可求，

且，，

從而，.

因為平面，且，

故平面；

（2）由（1）得，，，.設平面的法向量，

由及得

令，由此可得.

設平面的法向量，

由及得

令，由此可得.

則，因為二面角大于，

則二面角的余弦值為.