Question

【題目】以為直徑的圓上每一點都染上了紅、黃、藍三色之一，已知、染上了紅色，聯結圓上的點組成三角形，給出4個結論：

①必定存在一個直角三角形，三個頂點同為紅色；

②必定存在一個直角三角形，三個頂點同色；

③必定存在一個直角三角形，三個頂點全不同色；

④必定存在一個直角三角形，或都三個頂點同色，或者三個頂點全不同色。

則真命題的個數是（ ）個。

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】A

【解析】

易知，聯結圓上的點組成直角三角形，當且僅當斜邊為直徑，下面討論直徑.若除點、外，圓上再無紅點，則結論①不成立；若除點、外，圓上再無紅點，且其他所有直徑的兩端點都黃、藍異色，則結論②不成立；若圓上所有直徑的兩端點都同色，則結論③不成立.下面證明：結論④成立.若除點、外，圓上還有紅點，則存在三個頂點同色的直角三角形（同紅色），命題成立，若除點、外，圓上再無紅點（即圓上其余點染上了黃、藍兩色之一），則作直徑，當兩端異色時，存在三個頂點全不同色的直角三角形，命題成立；當兩端同色時，不妨記為同黃色，若此時圓上還有第三個黃點，則存在三個頂點同黃色的直角三角形，命題成立.若此時圓上沒有第三個黃點，即除點、、、外圓上全為藍點，則存在三個頂點同藍色的直角三角形，命題成立。綜上得結論④成立。