Question

【題目】已知函數f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在實數a，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=2時：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，

或 或 ，

解得：﹣ ≤x≤

（2）解：不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，

即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a，

由絕對值不等式的性質可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，

即有f（x）的最大值為|a+6|，

∴ 或 ，

解得：a≥﹣

【解析】（1）通過討論x的范圍，得到關于x的不等式組，解出取并集即可；（2）由題意知這是一個存在性的問題，須求出不等式左邊的最大值，可運用絕對值不等式的性質可得最大值，再令其大于等于a，即可解出實數a的取值范圍．