Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，且，為中點.

（Ⅰ）求證：平面； 　

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得點到平

面的距離為？若存在，確定點的位置；

若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】解法一：

（Ⅰ）證明：∵底面為正方形，

∴，又，

∴平面，

∴. 2分

同理， 4分

∴平面．

5分

（Ⅱ）解：設為中點，連結，

又為中點，

可得，從而底面．

過 作的垂線，垂足為,連結．

由三垂線定理有，

∴為二面角的平面角. 7分

在中，可求得

∴． 9分

∴ 二面角的大小為． 10分

（Ⅲ）解：由為中點可知,

要使得點到平面的距離為，

即要點到平面的距離為.

過 作的垂線，垂足為,

∵平面，

∴平面平面，

∴平面，

即為點到平面的距離.

∴，

∴． 12分

設，

由與相似可得

，

∴，即．

∴在線段上存在點，且為中點，使得點到平面的距離為．

14分

解法二：

（Ⅰ）證明：同解法一．

（Ⅱ）解：建立如圖的空間直角坐標系， 6分

則.

設為平面的一個法向量，

則，．

又

令則

得． 8分

又是平面的一個法向量，

9分

設二面角的大小為 ，

則．

∴ 二面角的大小為． 10分

（Ⅲ）解：設為平面的一個法向量，

則，．

又，

令則

得． 12分

又

∴點到平面的距離，

∴，

解得，即 .

∴在線段上存在點，使得點到平面的距離為，且為中點．14分

【解析】

試題分析：解法一：

（Ⅰ）證明：∵底面為正方形，

∴，又，

∴平面，

∴. 2分

同理， 4分

∴平面．

5分

（Ⅱ）解：設為中點，連結，

又為中點，

可得，從而底面．

過 作的垂線，垂足為,連結．

由三垂線定理有，

∴為二面角的平面角. 7分

在中，可求得

∴． 9分

∴ 二面角的大小為． 10分

（Ⅲ）解：由為中點可知,

要使得點到平面的距離為，

即要點到平面的距離為.

過 作的垂線，垂足為,

∵平面，

∴平面平面，

∴平面，

即為點到平面的距離.

∴，

∴． 12分

設，

由與相似可得

，

∴，即．

∴在線段上存在點，且為中點，使得點到平面的距離為．14分

解法二：

（Ⅰ）證明：同解法一．

（Ⅱ）解：建立如圖的空間直角坐標系， 6分

則.

設為平面的一個法向量，

則，．

又

令則