Question

【題目】已知拋物線的準線與半橢圓相交于兩點，且.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）若點是半橢圓上一動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由拋物線準線與橢圓相交的弦長構建方程求得p值即可；

（Ⅱ）設點坐標為，由題意可知切線斜率不會為0，設出兩條切線的直線方程，聯立直線與拋物線方程，由相切關系構建方程，并由兩切點分別得到是方程的兩根，進而由韋達定理與直線和方程的關系可知，是的兩點，再由點到直線的距離公式和弦長公式表示的底和高從而表示面積，最后換元求函數的最值即可.

（Ⅰ）由題可知，拋物線的準線為，則有得，

所以.

（Ⅱ）設點坐標為，且滿足.

由題意可知切線斜率不會為0，即設切線為，

代入得，

由可得①，

設切點，拋物線的上半部曲線函數關系式為，則，

故，將其代入①可得②.

設切線為，切點，同理可得③.

由②③可知是方程的兩根，所以，，

又，，所以代入②③可知，是的兩點，即直線方程為.

故

又因為且，所以.

令，由二次函數性質可知，其在上單調遞減，故，

所以