Question

【題目】橢圓的離心率.

(1)求橢圓的方程；

(2)如圖所示，A、B、D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2m－k為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由橢圓的離心率，結(jié)合性質(zhì) ， ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 即可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得點坐標(biāo)，直線的方程與聯(lián)立，可得點坐標(biāo)，由三點共線可得點坐標(biāo)，利用斜率公式變形后即可得結(jié)果.

(1)解　因為e＝＝，

所以a＝c，b＝c.

代入a＋b＝3得，c＝，a＝2，b＝1.

故橢圓C的方程為＋y2＝1.

(2)證明　因為B(2,0)，點P不為橢圓頂點，

則可設(shè)直線BP的方程為y＝k(x－2)(k≠0，k≠±)，①

①代入＋y2＝1，解得P.

直線AD的方程為y＝x＋1.②

①與②聯(lián)立解得M.

由D(0,1)，P，N(x,0)三點共線知

＝，解得N.

所以MN的斜率為m＝

＝＝.

則2m－k＝－k＝ (定值)．