Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點F₁，F₂和短軸的一個端點A構成等邊三角形，點（

3

，

3

2

）在橢圓C上，直線l為橢圓C的左準線．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點P是橢圓C上的動點，PQ⊥l，垂足為Q．是否存在點P，使得△F₁PQ為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出橢圓方程，根據△AF₁F₂為正三角形可推斷出a和b的關系，設b²=3λ，a²=4λ，代入橢圓方程，進而把點（

3

，

3

2

）代入即可求得λ，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）根據（1）可求得橢圓的離心率，進而求得PF₁和PQ的關系，假設PF₁=F₁Q根據PF₁=

1

2

PQ推斷出PF₁+F₁Q=PQ，與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，假設不成立，再看若F₁Q=PQ，設出P點坐標，則Q點坐標可得，進而表示出F₁Q和PQ求得x和y的關系，與橢圓方程聯立求得P點坐標．判斷出存在點P（-

4

7

，±

3 15

7

），使得△PF₁Q為等腰三角

解答：解：（Ⅰ）橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知△AF₁F₂為正三角形，所以

b

a

=

3

2

，

b2

a2

=

3

4

．
設b²=3λ，a²=4λ，橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=λ．
橢圓經過點（

3

，

3

2

），解得λ=1，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由

PF1

PQ

=e=

1

2

，得PF₁=

1

2

PQ．所以PF₁≠PQ．
1若PF₁=F₁Q，∵PF₁=

1

2

PQ，∴PF₁+F₁Q=PQ，
與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，所以PF₁不可能與PQ相等．
②若F₁Q=PQ，設P（x，y）（x≠±2），則Q（-4，y）．
∴

32+y2

=4+x，
∴9+y²=16+8x+x²，
又由

x2

4

+

y2

3

=1，得y²=3-

3

4

x²．
∴9+3-

3

4

x²=16+8x+x²，
∴

7

4

x²+8x+4=0．
∴7x²+32x+16=0．
∴x=-

4

7

或x=-4．
因為x∈（-2，2），所以x=-

4

7

．所以P（-

4

7

，±

3 15

7

）．
綜上，存在點P（-

4

7

，±

3 15

7

），使得△PF₁Q為等腰三角

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．