Question

【題目】已知f（x）=1﹣ ．
（1）求證：f（x）是定義域內的增函數；
（2）當x∈[0，1]時，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵f（x）=1﹣ ．

∴f′（x）= ．

在定義域R上，f′（x）＞0恒成立，

故f（x）是定義域R上的增函數

（2）解：由（1）可得當x∈[0，1]時，f（x）為增函數，

故當x=0時，f（x）取最小值0，

當x=1時，f（x）取最大值 ，

即當x∈[0，1]時，求f（x）值域為[0， ]

【解析】（1）求導，根據在定義域R上，f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是定義域R上的增函數；（2）由（1）可得當x∈[0，1]時，f（x）為增函數，求出函數的最值，可得函數的值域．
【考點精析】掌握函數的值域和函數單調性的判斷方法是解答本題的根本，需要知道求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．