Question

如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2

3

，BC=6
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角P-BD-A的大小．

Answer 1

分析：解法一：（I）由已知中底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=90°，且PA⊥平面ABCD，我們結(jié)合線面垂直的性質(zhì)及勾股定理，可以得到BD與平面PAC中兩個(gè)相交直線PA，AC均垂直，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）連接PE，可得∠AEP為二面角P-BD-A的平面角，解三角形AEP即可得到二面角P-BD-A的大�。�
解法二：（I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為零，判斷出BD⊥AP，BD⊥AC，再由線面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）分別求出平面PBD與平面ABD的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角P-BD-A的大�。�

解答：解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD．∴BD⊥PA．
又tanABD=

AD

AB

=

3

3

，tanBAC=

BC

AB

=

3

．∴∠ABD=30°，∠BAC=60°，∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．
又PA∩AC=A．∴BD⊥平面PAC．
…．．（6分）

（Ⅱ）連接PE．∵BD⊥平面PAC．∴BD⊥PE，BD⊥AE．∴∠AEP為二面角P-BD-A的平面角．
在Rt△AEB中，AE=AB•sinABD=

3

，
∴tanAEP=

AP

AE

=

3

，∴∠AEP=60°，∴二面角P-BD-A的大小為60°．            …．．（12分）
解法二：（Ⅰ）如圖，建立坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B(2

3

，0，0)，C(2

3

，6，0)，D（0，2，0），P（0，0，3），
∴

AP

=(0，0，3)，

AC

=(2

3

，6，0)，

BD

=(-2

3

，2，0)，∴

BD

•

AP

=0，

BD

•

AC

=0．
∴BD⊥AP，BD⊥AC，
又PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．

（Ⅱ）設(shè)平面ABD的法向量為m=（0，0，1），
設(shè)平面PBD的法向量為n=（x，y，1），
則n•

BP

=0，n•

BD

=0∴

-2 3 x+3=0 -2 3 x+2y=0

解得

x= 3 2 y= 3 2

∴n=(

3

2

，

3

2

，1)．
∴cos＜m，n＞=

m•n

|m||n|

=

1

2

．∴二面角P-BD-A的大小為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，（I）的關(guān)鍵是熟練掌握空間中直線與平面垂直的判定定理，（II）的關(guān)鍵法一是得到∠AEP為二面角P-BD-A的平面角，法二是求出平面PBD與平面ABD的一個(gè)法向量．