Question

【題目】如圖，在三陵錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，為的中點.

（1）證明：平面平面；

（2）若二面角的平面角為銳角，且棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據等腰三角形三線合一，可證明線線垂直，再根據線面垂直判定定理，即可證明；

（2）根據題意，點在平面內的射影在射線上，再根據錐體體積公式可知，由線面垂直的判定定理，可證平面，則建系：以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法，求線面角.

（1）

證明：∵，為中點，∴，

又為等邊三角形，，∴，

，∴平面，

平面，∴平面平面；

（2）由（1）知點在平面內的射影在直線上，又二面角的平面角為銳角，∴在射線上，，，∴，

又，∴，即為中點，取中點，連接，則，

∴平面，∴兩兩互相垂直，

以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，

則

設平面的法向量為

由得

令，得平面的一個法向量為，

又，設與平面所成角為，

則，

∴直線與平面所成角的正弦值為.