Question

【題目】有一塊鐵皮零件，其形狀是由邊長為的正方形截去一個三角形所得的五邊形，其中，如圖所示.現在需要用這塊材料截取矩形鐵皮，使得矩形相鄰兩邊分別落在上，另一頂點落在邊或邊上.設，矩形的面積為.

（1）試求出矩形鐵皮的面積關于的函數解析式，并寫出定義域；

（2）試問如何截取（即取何值時），可使得到的矩形的面積最大？

Answer 1

【答案】（1），定義域（2）先在DE上截取線段，然后過點M作DE的垂線交BA于點P，再過點P作DE的平行線交DC于點N，最后沿MP與PN截鐵皮，所得矩形面積最大.

【解析】

（1）分類討論,當點分別落在線段或線段上.根據矩形面積即可求得關于的函數解析式及其定義域.

（2）根據（1）由分段函數,結合二次函數的性質可求得面積的最大值.求得取最大值時的值,即可知截取矩形的方式.

（1）依據題意并結合圖形,可知：

①當點落在線段上

即時,；

②當點在線段上,

即時,由,

得.

于是.

所以,

定義域.

（2）由（1）知,當時,；

當時,

當且僅當時,等號成立.

因此,y的最大值為.

答：先在DE上截取線段,然后過點M作DE的垂線交BA于點P,再過點P作DE的平行線交DC于點N,最后沿MP與PN截鐵皮,所得矩形面積最大,最大面積為.