Question

【題目】已知.

（1）討論函數(shù)_f(x)的單調(diào)性；

（2）若 ，且有2 個不同的極值點 ，求證：.

Answer 1

【答案】（1）時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）詳見解析.

【解析】

（1）求導，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，即可判斷的單調(diào)性；

（2）①方法一：根據(jù)導數(shù)與函數(shù)極值的關系，求得和的關系，因此可以求得的取值范圍；

方法二：根據(jù)方法一求得和的關系，根據(jù)函數(shù)的零點存在定理求得的取值范圍；

②根據(jù)①可知，表示出，消元，根據(jù)的取值范圍和函數(shù)的單調(diào)性即可求得

（1），求導，，

①當時，，所以在上單調(diào)遞增；

②當時，，，單調(diào)遞減，

當時，，單調(diào)遞增，

綜上可知，時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（2）①方法一：因為＝，

所以，有個不同的極值點，，

則，是方程＝的兩個根，由，得＝，

且＝，＝，結合，可得，由，

得，所以，

方法二：因為＝，

所以，有個不同的極值點，，

則，是方程＝的兩個根，由，得＝，

且＝，＝，結合，可得，

設＝＝，因為，＝，

由零點存在定理得；

②，

設，，

求導，，，

故＝在單調(diào)遞減，，

所以