Question

【題目】已知橢圓，過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn).

（1）若，求直線的方程；

（2）設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線過(guò)軸上的定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）或；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由已知條件利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，則可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由的關(guān)系表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，而點(diǎn)在橢圓上，將其坐標(biāo)代入橢圓方程中可求出直線的斜率；

（2）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示出，然后直線的方程與橢圓方程聯(lián)立成方程，消元后得到關(guān)于的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合直線的方程，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

（1）由條件可知直線的斜率存在，則

可設(shè)直線的方程為，則，

由，有，

所以，

由在橢圓上，則，解得，此時(shí)在橢圓內(nèi)部，所以滿足直線與橢圓相交，

故所求直線方程為或.

（也可聯(lián)立直線與橢圓方程，由驗(yàn)證）

（2）設(shè)，則，

直線的方程為.

由得，

由，

解得，

，

當(dāng)時(shí)，，

故直線恒過(guò)定點(diǎn).