Question

設無窮等差數列{a_n}的前n項和為S_n.
(Ⅰ)若首項，公差，求滿足的正整數k；
(Ⅱ)求所有的無窮等差數列{a_n}，使得對于一切正整數k都有成立

Answer 1

(Ⅰ)            (Ⅱ)見解析

【錯解分析】本小題主要考查數列的基本知識，以及運用數學知識分析和解決問題的能力.學生在解第(Ⅱ)時極易根據條件“對于一切正整數k都有成立”這句話將k取兩個特殊值確定出等差數列的首項和公差，但沒有認識到求解出的等差數列僅是對已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應進一步的由特殊到一般。
【正解】解：（I）當時
由，即  又.
（II）設數列{a_n}的公差為d，則在中分別取k=1,2,得

由（1）得 當
若成立         ,
若故所
數列不符合題意.當
若
若.
綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數列：
①{a_n} : a_n=0，即0，0，0，…；②{a_n} : a_n=1，即1，1，1，…； ③{a_n} : a_n=2n－1，即1，3，5，…，