Question

已知直線l：y＝x＋，圓O：x2＋y2＝5，橢圓E：＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等．

(1)求橢圓E的方程；

(2)過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證：兩切線的斜率之積為定值．

 

Answer 1

（1）＝1.（2）－1

【解析】設橢圓的半焦距為c，

圓心O到直線l的距離d＝＝，

∴b＝＝.

由題意得∴a2＝3，b2＝2.

∴橢圓E的方程為＝1.

(2)證明　設點P(x0，y0)，過點P的橢圓E的切線l0的方程為y－y0＝k(x－x0)，

聯立直線l0與橢圓E的方程得

消去y得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，

∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，

整理得：(2－)k2＋2kx0y0－(－3)＝0，

設滿足題意的橢圓E的兩條切線的斜率分別為k1，k2，則k1·k2＝－，

∵點P在圓O上，∴＝5，

∴k1·k2＝－＝－1.

∴兩條切線的斜率之積為常數－1.