Question

【題目】已知函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，函數(shù) .

（Ⅰ）若，且關(guān)于的方程有且僅有一個解，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）當(dāng)時，若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析: ∵函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，∴，

∴

（Ⅰ）令，則，即

令，利用導(dǎo)數(shù)研究 的性質(zhì)，可得，

又， ， 所以當(dāng)函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)時， .

（Ⅱ）當(dāng)時，由（Ⅰ）知，

利用導(dǎo)數(shù)研究 的性質(zhì)，可得是的極大值點(diǎn).

∵

∴，即可求出實數(shù)的取值范圍.

試題解析:∵函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，∴，

∴

（Ⅰ）令，則，即

令，則，

令，則.

因為，所以 所以在上是減函數(shù)，

又，所以當(dāng)時， ，當(dāng)時， .

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，

又， ，

所以當(dāng)函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)時， ，∴.

（Ⅱ）當(dāng)時，由（Ⅰ）知，

易知，當(dāng)時， 恒成立，等價于.

因為，令得，或

又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即是的極大值點(diǎn).

∵

∴，即為所求.