Question

【題目】已知函數

（1）當時，求的單調區間；

（2）如果對任意，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）(-,2]

【解析】

（1）將a代入，求出函數的導數，分別解f′（x）〈0和f′（x）〉0，求出函數的單調區間即可；

（2）由原不等式移項為右側為0的形式，構造新的函數，通過求導對a討論，研究其增減性及最值，逐步得解．

(1)當a=2時，f(x)=(x2+2x+1)e-x

f′（x）=-(x+1)(x-1)e-x

由f′（x）〈0得x<-1或x>1;由f′（x）〉0得-1<x<1;

所以f(x)的單調遞增區間為(-1,1),

f(x)的單調遞減區間為(-，-1)，（1，+）

(2)f(x)≤x+1

ax2+ax+1≤(x+1)ex

(x+1)ex-ax2-ax-1≥0

令g(x)=(x+1)ex-ax2-ax-1,則g′(x)=(x+2)ex-ax-a，

令F(x)=g′(x)=(x+2)ex-ax-a,則F′(x)=(x+3)ex-a，

令t(x)=F′(x)=(x+3)ex-a,則t′(x)=(x+4) ex，

當x≥0時，t′(x)>0恒成立，從而t(x)在[0,+)上單調遞增,

此時t(0)=3-a,

F(0)=2-a,g(0)=0

當a≤2時，t(x)≥t(0)=3-a>0,即F′(x)>0所以F(x)在[0,+)上單調遞增

所以F(x)≥F(0)=2-a≥0,即g′(x)≥0，從而g(x)在[0,+)上單調遞增

所以g(x)≥g(0)=0

即(x+1)ex-ax2-ax-1≥0恒成立,

所以當a≤2時合題意；

②當2<a≤3時，t(x)在[0,+)上單調遞增,且t(x)≥t(0)=3-a≥0即F′(x)≥0

∴F(x)=g′(x)在[0,+)上單調遞增,又F(0)=g′(0)=2-a<0，

∴必存在x1(0,+),使得x（0,x1)時，

g(x)在(0,x1)上單調遞減，

∴g(x)<g(0)=0，

這與g(x)≥0在x≥0時恒成立矛盾，從而當2<a≤3時不合題意；

③當a>3時，t(x)在[0,+)上單調遞增且t(0)=3-a<0，

必存在x2(0,+),使得x(0,x2)時，t(x)<0，即F′(x)<0,從而F(x)=g′(x)在[0,+)上單調遞減,

∴F(x)<F(0)=g′(0)=2-a<0，

從而g(x)在(0,x1)上單調遞減 ，

g(x)<g(0)=0，這與g(x)≥0在x≥0時恒成立矛盾，從而a>3時不合題意；

綜上：a的取值范圍是(-,2]