Question

【題目】已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓的左頂點坐標為，離心率為．

求橢圓E的方程；

過點作直線l交E于P、Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使為定值？若存在，求出這個定點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】1；2.

【解析】

設出橢圓的方程，得到關于a，c的方程組，解出即可求出橢圓方程；

假設存在符合條件的點，設，，求出，通過討論當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，聯立直線和橢圓的方程，結合韋達定理求出m的值，當直線l的斜率不存在時，求出直線方程，代入檢驗即確定．

設橢圓E的方程為，

由已知得，解得：，

所以．

所以橢圓E的方程為．

假設存在符合條件的點，

設，，

則，，

，

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，

由，得：，

，，

，

，

對于任意的k值，上式為定值，

故，解得：，

此時，為定值；

當直線l的斜率不存在時，

直線l：，，，，

由，得為定值，

綜合知，符合條件的點M存在，其坐標為．