Question

【題目】已知函數，其中， 為自然對數的底數．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）當時， ，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間： ，單調遞減區間： ， ；（2）．

【解析】試題分析：（Ⅰ） ，令，當， ， 單增， ， ， 單減； （Ⅱ）令，即恒成立，而，利用導數的性質和零點存在定理，即可求出結果．

試題解析：（Ⅰ） ，

令，

當， ， 單增，

， ， 單減；

（Ⅱ）令，

即恒成立，而，

令，

∵， 在上單調遞增， ，

當時， ， 在上單調遞增， ，符合題意；

當時， 在上單調遞減， ，與題意不合；

當時， 為一個單調遞增的函數，而， ，

由零點存在性定理，必存在一個零點，使得，

當時， ，從而在上單調遞減，

從而，與題意不合，綜上所述： 的取值范圍為．