Question

（2012•湖北）設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若三邊的長為連續的三個正整數，且A＞B＞C，3b=20acosA，則sinA：sinB：sinC為（　　）

A．4：3：2

B．5：6：7

C．5：4：3

D．6：5：4

Answer 1

分析：由題意可得三邊即 a、a-1、a-2，由余弦定理可得 cosA=

a-5

2(a-2)

，再由3b=20acosA，可得 cosA=

3a-3

20a

，從而可得

a-5

2(a-2)

=

3a-3

20a

，由此解得a=6，可得三邊長，根據sinA：sinB：sinC=a：b：c，求得結果．

解答：解：由于a，b，c 三邊的長為連續的三個正整數，且A＞B＞C，可設三邊長分別為 a、a-1、a-2．
由余弦定理可得 cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(a-1)2+(a-2)2-a2

2(a-1)(a-2)

=

a-5

2(a-2)

，
又3b=20acosA，可得 cosA=

3b

20a

=

3a-3

20a

．
故有 

a-5

2(a-2)

=

3a-3

20a

，解得a=6，故三邊分別為6，5，4．
由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a-1）：（ a-2）=6：5：4，
故選D．

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，求出a=6是解題的關鍵，屬于中檔題．