Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的上頂點為A，左、右焦點分別為，，直線的斜率為，點在橢圓E上，其中P是橢圓上一動點，Q點坐標為.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)作直線l與x軸垂直，交橢圓于兩點（兩點均不與P點重合)，直線，與x軸分別交于點.求的最小值及取得最小值時點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）的最小值為，此時點P的坐標為或

【解析】

（1）根據直線的斜率求得，將點坐標代入托運方程，解出的值，進而求得的值以及橢圓方程.（2）設出三個點的坐標，由直線的方程求得點坐標以及,由直線的方程求得點坐標以及.利用基本不等式求得的最小值.根據基本不等式等號成立的條件以及絕對值的性質，求出點的坐標.

(1)由直線的斜率為可知直線的傾斜角為.

在中，,于是,

橢圓,將代入得

所以，橢圓E的標準方程

(2)設點.

于是，直線,令,

所以

直線，令，

所以

又.代入上式并化簡

即，

當(即)時取得最小值，

（Ⅰ）時，化簡得

根據題意：，若亦與題意不符，

所以，此時或

（Ⅱ）時，化簡得

將代入并化簡得：

根據題意：，若，而

所以 不成立，即不成立

綜上，或，點P的坐標為或