Question

【題目】已知極點與直角坐標系的原點重合，極軸與軸的正半軸重合，曲線的極坐標方程是，直線的參數方程是（為參數）.

（1）若，是圓上一動點，求點到直線的距離的最小值和最大值；

（2）直線與關于原點對稱，且直線截曲線的弦長等于，求的值.

Answer 1

【答案】（1）的最小值為，最大值；（2）.

【解析】

（1）將曲線和直線的方程均化為普通方程，作出圖形，利用數形結合思想可求得的最小值和最大值；

（2）求得直線的方程，求出圓心到直線的方程，利用勾股定理求得直線截曲線的弦長，結合已知條件可求得實數的值.

（1）當時，由，得曲線是圓的部分，如圖所示，

將直線的直角坐標方程化為，

由圖得，當與重合時，取最小值；

又曲線的圓心到直線的距離為，半徑，則的最大值為；

（2）曲線，直線，

由于直線與關于原點對稱，則直線的方程為，即，

圓心到直線的距離，

由圓的半徑為，直線截圓的弦長等于，，即，解得.

經檢驗均合題意，.