Question

設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：“①方程有實數根；②函數的導數滿足.”

（1）判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由；

（2）集合M中的元素具有下面的性質：若的定義域為D，則對于任意，都存在，使得等式成立”，試用這一性質證明：方程只有一個實數根；

（3）設是方程的實數根，求證：對于定義域中任意的，當，且時，.

Answer 1

1）函數是集合M中的元素. （2）同解析（3）同解析

解析:

1）因為，所以滿足條件，

又因為當時，，所以方程有實數根0.

所以函數是集合M中的元素.

（2）假設方程存在兩個實數根），則，

不妨設，根據題意存在數，

使得等式成立，

因為，，且，所以，

與已知矛盾，所以方程只有一個實數根；

（3）不妨設，因為所以為增函數，所以，

又因為，所以函數為減函數，

所以，

所以，即，

所以

.