Question

【題目】2019年上半年我國多個省市暴發了“非洲豬瘟”疫情，生豬大量病死，存欄量急劇下降，一時間豬肉價格暴漲，其他肉類價格也跟著大幅上揚，嚴重影響了居民的生活.為了解決這個問題，我國政府一方面鼓勵有條件的企業和散戶防控疫情，擴大生產；另一方面積極向多個國家開放豬肉進口，擴大肉源，確保市場供給穩定.某大型生豬生產企業分析當前市場形勢，決定響應政府號召，擴大生產，決策層調閱了該企業過去生產相關數據，就“一天中一頭豬的平均成本與生豬存欄數量之間的關系”進行研究.現相關數據統計如下表：

生豬存欄數量（千頭）	2	3	4	5	8
頭豬每天平均成本（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.5

（1）研究員甲根據以上數據認為與具有線性回歸關系，請幫他求出關于的線性回歸方程（保留小數點后兩位有效數字）

（2）研究員乙根據以上數據得出與的回歸模型：.為了評價兩種模型的擬合結果，請完成以下任務：

①完成下表（計算結果精確到0.01元）（備注：稱為相應于點的殘差）；

生豬存欄數量（千頭）		2	3	4	5	8
頭豬每天平均成本（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.5
模型甲	估計值
	殘差
模型乙	估計值	3.2	2.4	2	1.76	1.4
	殘差	0	0	0	0.14	0.1

②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和及，并通過比較與的大小，判斷哪個模型擬合效果更好；

（3）根據市場調查，生豬存欄數量達到1萬頭時，飼養一頭豬每一天的平均收入為7.5元；生豬存欄數量達到1.2萬頭時，飼養一頭豬每一天的平均收入為7.2元.若按（2）中擬合效果較好的模型計算一天中一頭豬的平均成本，問該生豬存欄數量選擇1萬頭還是1.2萬頭能獲得更多利潤?請說明理由.（利潤=收入-成本）

參考公式：，

參考數據： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②

因為，故模型的擬合效果更好；（2）1.2萬頭，理由見解析.

【解析】

（1）根據所給數據計算，再計算出方程中的系數，得方程；

（2）①模型甲根據所求線性回歸方程計算估計值，得殘差，模型乙直接根據估計值得殘差，②計算出，可得；

（3）利用模型乙計算出成本，再計算出利潤，然后比較可得．

（1）由題知：，

，故.

（2）①經計算，可得下表：

生豬存欄數量（千頭）		2	3	4	5	8
頭豬每天平均成本（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.5
模型甲	估計值	2.80	2.55	2.30	2.05	1.30
	殘差	0.40	-0.15	-0.30	-0.15	0.20
模型乙	估計值	3.2	2.4	2	1.76	1.4
	殘差	0	0	0	0.14	0.1

因為，故模型的擬合效果更好.

（3）若生豬存欄數量達到1萬頭，由（2）模型乙可知，每頭豬的成本為元，

這樣一天獲得的總利潤為元.

若生豬存欄數量達到1.2萬頭，

由（2）模型乙可知，每頭豬的成本為元，

一天獲得的總利潤為元，

因為，所以選擇擇生豬存欄數量1.2萬頭能獲得更多利潤.