Question

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）若函數在處的切線方程為，求的值；

（Ⅱ）當時，若不等式恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）當時，若方程在上總有兩個不等的實根， 求的最小值．

Answer 1

【答案】（1），． （2） （3）

【解析】試題分析：（1）根據導數的幾何意義得到參數值；（2）不等式恒成立，即，

等價于，令，對這個函數求導研究單調性求最值即可；（3）即，，令，對這個函數求導研究函數的單調性，求得函數的變化趨勢，使得函數和x軸有兩個不同的交點即可.

解析：（Ⅰ） ，．

（Ⅱ）當時，． （）．所以即.

又因為，所以等價于．

令，則.解，得；解，得；解，得．

所以在單調遞增，在單調遞減，所以，

故實數的取值范圍是

（Ⅲ）當時，即，．

令，則.

方程在上總有兩個不等的實根等價于

函數的圖象與軸在上有兩個不同的交點．

（ⅰ）當時，因為，所以，所以函數在單調遞減，

從而函數在內的零點最多一個，不符合題意.

（ⅱ）當時，因為，

解，得；解，得；解，得.

所以函數在單調遞減，在單調遞增.

當時，在單調遞減，函數在區間內的零點最多一個，不符

②當時，因為當趨于時，的值趨于正無窮大，

所以當且僅當時函數在有兩個零點．

由得，即對恒成立. 等價于.

再令，則.

解得；解得；解得.

所以函數在單調遞增，在單調遞減.

所以，故的解為．

由得即對恒成立.所以，

所以的解為．所以的解為. 綜合①②得.

綜合（ⅰ）（ⅱ）得滿足題意要求的實數的最小值為．