Question

已知函數f(x)定義在區間(-1，1)上，f()=-1，且當x，y∈(-1，1)時，恒有f(x)-f(y)=f()，又數列{a_n}滿足a₁=，a_n+1=，設b_n=.

(Ⅰ)證明：f(x)在(-1，1)上為奇函數；

(Ⅱ)求f(a_n)的表達式；

(Ⅲ)是否存在自然數m，使得對任意n∈N，都有b_n＜成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

答案：解：(1)令x=y=0，則f(0)=0，再令x=0，得f(0)-f(y)=f(-y)，所以f(-y)=-f(y)，y∈(-1，1)，故f(x)在(-1，1)上為奇函數.

(Ⅱ)∵f(a₁)=f()=-1，

由(Ⅰ)知f(x)+f(y)=f()，

∴f(a_n+1)=f()=f()=f(a_n)+f(a_n)=2f(a_n)，

即=2，∴{f(a_n)}是以-1為首項，2為公比的等比數列，從而有f(a_n)=-2^n-1.

(10)先求b_n的表達式，b_n=-(1+

若b_n＜恒成立(n∈N₊)，則-2+-2，即m＞

∵n∈N₊，∴當n=1時，有最大值4，故m＞4.

又∵m∈N，

∴存在m=5，使得對任意n∈N₊，都有b_n＜成立.