Question

設定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+3）+f（x）=0，若f（1）=2，則f（2012）=

-2

．

Answer 1

分析：先由f（x+3）+f（x）=0求出函數周期，利用周期對f（2012）進行化簡，再根據偶函數性質及f（1）即可求出答案．

解答：解：由f（x+3）+f（x）=0，得f（x+3）=-f（x），
所以f（x+6）=-f（x+3）=-[-f（x）]=f（x），即T=6為f（x）的周期．
所以f（2012）=f（335×6+2）=f（2）=f（-1+3）=-f（-1），
又函數f（x）為R上的偶函數，所以f（-1）=f（1）=2，
f（2012）=-2．
故答案為：-2．

點評：本題考查了函數的周期性及應用周期求函數值，解決本題的關鍵是利用f（x+3）+f（x）=0推導函數周期．