Question

【題目】某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛生防疫工作的相關要求，決定在全公司范圍內舉行一次普查，為此需要抽驗1000人的血樣進行化驗，由于人數較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗1000次.方案②：按個人一組進行隨機分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結果呈陰性，這個人的血只需檢驗一次（這時認為每個人的血化驗次）；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗，這樣，該組個人的血總共需要化驗次.假設此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應相互獨立.

（1）設方案②中，某組個人的每個人的血化驗次數為，求的分布列；

（2）設，試比較方案②中，分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗次數最多可以平均減少多少次？（最后結果四舍五入保留整數）

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析；（2）406.

【解析】

（1）計算個人的血混合后呈陰性反應的概率為，呈陽性反應的概率為，得到分布列.

（2）計算，代入數據計算比較大小得到答案.

（1）設每個人的血呈陰性反應的概率為，則.

所以個人的血混合后呈陰性反應的概率為，呈陽性反應的概率為.

依題意可知，，所以的分布列為：

（2）方案②中.

結合（1）知每個人的平均化驗次數為：

時，，此時1000人需要化驗的總次數為690次，

時，，此時1000人需要化驗的總次數為604次，

時，，此時1000人需要化驗的次數總為594次，

即時化驗次數最多，時次數居中，時化驗次數最少，而采用方案①則需化驗1000次，

故在這三種分組情況下，相比方案①，

當時化驗次數最多可以平均減少次.