Question

【題目】已知對任意的n∈N* ， 存在a，b∈R，使得1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）= （an2+b）
（1）求a，b的值；
（2）用數學歸納法證明上述恒等式．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）= （an2+b），

上述等式分別取n=1，2得 ，解得 ，

（2）解：由（1）得1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）= （n2﹣1），

證明：①當n=1時，左邊=1×（12﹣12）=0，右邊= ×12（12﹣1）=0，等式成立，

②假設當n=k時，等式成立，即1×（k2﹣12）+2×（k2﹣22）+3×（k2﹣32）+…+k（k2﹣k2）= k2（k2﹣1），

則當n=k+1時，左邊=1×[（k2﹣12）+（2k+1）]+2×[（k2﹣22）+（2k+1）]+…+k[（k2﹣k2）+（2k+1）]，

=1×（k2﹣12）+2×（k2﹣22）+3×（k2﹣32）+…+k（k2﹣k2）+（2k+1）（1+2+3+…+k），

= k2（k2﹣1）+（2k+1） k（k+1），

= k（k+1）（k2+3k+2），

= （k+1）2k（k+2），

= （k+1）2[（k+1）2﹣1]，

所以當n=k+1時等式成立，

綜上所述，對任意n∈N*，原等式成立．

【解析】（1）分別取n=1，2，得到關于a，b的方程組解得即可，（2）先根據當n=1時，把n=1代入求值等式成立；再假設n=k時關系成立，利用變形可得n=k+1時關系也成立，綜合得到對于任意n∈N*時都成立
【考點精析】利用數學歸納法的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法．