Question

【題目】函數，，其中常數.

（1）若函數與有相同的極值點，求的值；

（2）若，判斷函數與圖象的交點個數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，有1個交點；當時，有3個交點.

【解析】

（1）先求出的極值點，再通過與有相同的極值點，可求出的值；

（2）判斷函數與圖象的交點個數，構造新函數，可將問題轉化為求函數的零點個數，結合a的范圍，利用函數的單調性及函數的性質可判斷函數的零點存在情況.

解：（1），的定義域都為，

，

令，得；令，得；令，得，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.

所以函數在處取得極小值；

又.

∴，解得，

經檢驗，滿足題意，故.

（2）函數與的圖象的交點個數等價于函數的零點個數.

，則.

①當時，令，則.

令，得，

令，得，

故函數在上單調遞減，在上單調遞增.

故.

則.故在上是增函數，此時由，可得函數有唯一的零點.

即函數與的圖象有1個交點；

②當時，，

并且對于負數，有

，

，

，

，

又因為，

所以，

所以.

所以在區間上存在負數，使得，

則在上，，是增函數，

在區間上，，是減函數.

則，.

所以在上，有且僅有1個零點；

在區間上，，且是增函數，

所以存在正數，使得在上，，是減函數；

在上，，是增函數.

于是有，.

所以在上，恰有唯一的零點

所以當時，在上恰有三個不同的零點.

即函數與的圖象有3個交點.

綜上所述，當時，函數與的圖象有1個交點；當時，函數與的圖象有3個交點.