Question

【題目】在測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第題的難度，為答對該題的人數，為參加測試的總人數.現對某校高三年級120名學生進行一次測試，共5道客觀題.測試前根據對學生的了解，預估了每道題的難度，如下表所示：

題號	1	2	3	4	5
考前預估難度	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

測試后，從中隨機抽取了10名學生，將他們編號后統計各題的作答情況，如下表所示（“√”表示答對，“×”表示答錯）：

題號 學生編號	1	2	3	4	5
1	×	√	√	√	√
2	√	√	√	√	×
3	√	√	√	√	×
4	√	√	√	×	×
5	√	√	√	√	√
6	√	×	×	√	×
7	×	√	√	√	×
8	√	×	×	×	×
9	√	√	×	×	×
10	√	√	√	√	×

（1）根據題中數據，將抽樣的10名學生每道題實測的答對人數及相應的實測難度填入下表，并估計這120名學生中第5題的實測答對人數：

題號	1	2	3	4	5
實測答對人數
實測難度

（2）從編號為1到5的5人中隨機抽取2人，求恰好有1人答對第5題的概率；

（3）定義統計量，其中為第題的實測難度，為第題的預估難度（）.規定：若，則稱該次測試的難度預估合理，否則為不合理.判斷本次測試的難度預估是否合理.

Answer 1

【答案】（1）填表見解析，24人；（2）；（3）是合理的.

【解析】

（1）根據已知數據，進行統計，即可容易填表所得結果；結合實測難度，即可求得答對第5題的人數；

（2）根據題意求得所有抽取的可能以及滿足題意的可能，用古典概型的概率求解公式即可容易求得結果；

（3）根據公式，即可求得對應的，則根據題意即可進行判斷.

（1）毎道題實測的答對人教及相應的實測難度如下表：

題號	1	2	3	4	5
實測答對人數	8	8	7	7	2
實測難度	0.8	0.8	0.7	0.7	0.2

所以，估計120人中有人答對第5題.

（2）記編號為的學生為，從這5人中隨機抽取2人，

不同的抽取方法有10種.其中恰好有1人答對第5題的抽取方法為

，，，，，，共6種.

所以，從編號為1~5的學生中隨機抽取2人，

恰好有1人答對第5題的概率為.

（3）為抽樣的10名學生中第題的實測難度，用作為這120名學生第題的實測難度.

，

因為，所以，該次測試的難度預估是合理的.