Question

【題目】直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓的離心率為，過點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點(diǎn)P(2,1)，直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分.

①求直線的斜率；②若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) ①直線的斜率為除以外的任意實(shí)數(shù).

②.

【解析】分析：（1）由離心率條件得，然后將點(diǎn).代入原式得到第二個(gè)方程，聯(lián)立求解即可；（2）①先得出OP的方程，然后根據(jù)點(diǎn)差法研究即可；②先表示出，然后聯(lián)立直線和橢圓根據(jù)韋達(dá)定理代入等式求解即可.

詳解：

（1）由可得，

設(shè)橢圓方程為，代入點(diǎn)，得，

故橢圓方程為：.

（2）①由條件知，

設(shè)，則滿足，，

兩式作差得：，

化簡得，

因?yàn)?/span>被平分，故，

當(dāng)即直線不過原點(diǎn)時(shí)，，所以；

當(dāng)即直線過原點(diǎn)時(shí)，，為任意實(shí)數(shù),但時(shí)與重合；

綜上即直線的斜率為除以外的任意實(shí)數(shù).

②當(dāng)時(shí)，，故 ，

得，聯(lián)立，得，舍去；

當(dāng)時(shí)，設(shè)直線為，代入橢圓方程可得，（＃）

所以，，

，

，

故

解得，此時(shí)方程（＃）中，

故所求直線方程為.