Question

某學校舉行知識競賽，第一輪選拔共設有A、B、C、D四個問題，規則如下：
①每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分；
②每回答一題，計分器顯示累計分數，當累計分數小于8分時，答題結束，淘汰出局；當累計分數大于或等于14分時，答題結束，進入下一輪；當答完四題，累計分數仍不足14分時，答題結束，淘汰出局；
③每位參加者按問題A、B、C、D順序作答，直至答題結束．
假設甲同學對問題A、B、C、D回答正確的概率依次為，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．
(Ⅰ)求甲同學能進入下一輪的概率；
(Ⅱ)用ξ表示甲同學本輪答題結束時答題的個數，求ξ的分布列和數學期望Eξ。

Answer 1

解：設A、B、C、D分別為第一、二、三、四個問題，
用M_i(i=1，2，3，4)表示甲同學第i個問題回答正確，
用N_i(i=1，2，3，4)表示甲同學第i個問題回答錯誤，則M_i與N_i是對立事件(i=1，2，3，4)，
由題意得，，
所以，
(Ⅰ)記“甲同學能進入下一輪”為事件Q，
則，
由于每題答題結果相互獨立，因此





；
(Ⅱ)由題意，隨機變量ξ的可能取值為2，3，4，
由于每題答題結果相互獨立，
所以，


，
，
因此隨機變量ξ的分布列為
 
所以。