Question

【題目】已知橢圓是橢圓內任一點.設經過的兩條不同直線分別于橢圓交于點記的斜率分別為

（1）當經過橢圓右焦點且為中點時,求:

①橢圓的標準方程;

②四邊形面積的取值范圍.

（2）當時,若點重合于點,且.求證:直線過定點.

Answer 1

【答案】(1) ①;②;(2)見解析.

【解析】

(1) ①由方程可求出焦點坐標,進而可求的斜率.設出,將 代入到橢圓方程中去,將所得方程相減整理, ,結合中點坐標和的斜率可求.

②由分析知, 當過點與的直線同時和橢圓相切時四邊形 的面積最大. 設切線方程為，與橢圓聯立整理后令，即可求出切點，進而可求切點到直線的距離，由弦長公式求出的長度，進而可求四邊形的面積.

(2)設出的方程,與橢圓聯立,得到橫坐標的關系,由,可求出,進而可知.因此可證過定點.

(1) ①解:由題意知,.即橢圓的焦點坐標為.

則.設

則 兩式相減整理得

是 的中點, 解得

故橢圓的方程為.

②解:由題意知,當過點與的直線同時和橢圓相切時四邊形 的面積最大.

由知，切線斜率也為.設切線方程為，與橢圓聯立得

，整理得，則

，解得.

則可求切點不妨設為 ，此時兩點到 的距離

設，聯立 ，整理得，則

由韋達定理知.

故.

(2)證明:當時,橢圓的方程為.

直線 的斜率存在且不為0,直線不過

設直線的方程為, 此時

聯立得,整理得

則.

即 整理得

解得 此時

故直線 恒過.