Question

（本小題14分）已知函數 

（Ⅰ）若且函數在區間上存在極值，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）如果當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）求證：，…….

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）見解析。

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。求解函數的極值，和不等式的恒成立問題，以及證明不等式。

解：（Ⅰ）因為， x 0，則，

求解導數，判定函數單調性，得到極值。

因為函數在區間（其中）上存在極值，

得到參數k的范圍。

（Ⅱ）不等式，又，則 ，構造新函數,則 

 令，則，

分析單調性得到證明。

（Ⅲ）由（2）知：當時，恒成立，即，，

令 ，則；可以證明。

 

解：（Ⅰ）因為， x 0，則，

當時，；當時，.

所以在（0，1）上單調遞增；在上單調遞減，

所以函數在處取得極大值；……….2分

因為函數在區間（其中）上存在極值，

所以 解得；……….4分

（Ⅱ）不等式，又，則 ，,則；……….6分

 令，則，

，在上單調遞增，，

從而， 故在上也單調遞增， 所以，

所以.  ；……….8分

（Ⅲ）由（2）知：當時，恒成立，即，，

令 ，則；……….10分

所以 ，，……

,

n個不等式相加得

即……….14分