Question

【題目】已知函數.

（1）若函數的圖象與軸有且只有一個公共點，求實數的取值范圍；

（2）若對任意成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出及其導函數，利用研究的單調性和最值，根據零點存在定理和零點定義可得的范圍．

（2）令，題意說明時，恒成立.同樣求出導函數，由研究的單調性，通過分類討論可得的單調性得出結論．

解（1）函數

所以

討論：

①當時，無零點；

②當時，，所以在上單調遞增.

取，則

又，所以，此時函數有且只有一個零點；

③當時，令，解得（舍）或

當時，，所以在上單調遞減；

當時，所以在上單調遞增.

據題意，得，所以（舍）或

綜上，所求實數的取值范圍為.

（2）令，根據題意知，當時，恒成立.

又

討論：

①若，則當時，恒成立，所以在上是增函數.

又函數在上單調遞增，在上單調遞增，所以存在使，不符合題意.

②若，則當時，恒成立，所以在上是增函數，據①求解知，

不符合題意.

③若，則當時，恒有，故在上是減函數，

于是“對任意成立”的充分條件是“”，即，

解得，故

綜上，所求實數的取值范圍是.