Question

【題目】已知函數.

（1）討論在定義域內的極值點的個數；

（2）若對，恒成立，求實數的取值范圍；

（3）證明：若，不等式成立.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數有兩個極值點；當時，函數沒有極值點（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）求導可得,轉化問題為的變號零點個數,分別討論,,的情況即可；

（2）轉化問題為在上恒成立,設,利用導函數求得的最小值,進而求解；

（3）由（2）可得恒成立,即,則欲證,只需證,設,進而利用導函數求得的最小值大于等于0即可.

（1）解:由題,

設,令,即方程,,

當時,,則,此時沒有極值點；

當時,,設方程兩根為,,不妨設,

則,,則,

當或時,；

當時,,

此時,是函數的兩個極值點,

當時,,設方程兩根為,,

則,,所以,,

所以當時,,故沒有極值點,

綜上,當時,函數有兩個極值點；當時,函數沒有極值點.

（2）解:由題,在上恒成立,

則在上恒成立,

即在上恒成立,

設,

則,

因為,

當時,,則單調遞減；當,,則單調遞增；

所以,

所以

（3）證明:由（2）知,所以恒成立,

即,

欲證,

只需證,

設,則,

當時,,則單調遞減；當時,,則單調遞增,

所以,即,

所以當時,不等式成立.