Question

【題目】已知數列中各項都大于1，前項和為，且滿足.

（1）求數列的通項公式；

（2）令，求數列的前項和；

（3）求使得對所有都成立的最小正整數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）首先令，利用,求解數列的首項，再令，得到，然后兩式相減，得到數列的遞推公式，可知數列是等差數列，寫出通項公式；（2）根據上一問的結果，代入可得數列的通項公式，采用裂項相消法求和；（3）對恒成立的問題，可轉化為，從而求得最小正整數.

試題解析：（1）當 時，，

解之得，（舍去）

由 ①

得 ②

②-①得

即

由于，故

可見數列為等差數列，公差是3，首項是2，

所以.

（2），

所以

即數列的前項和.

（3） 使得對所有都成立的必須滿足，即，故滿足要求的最小正整數為6.