Question

已知

i

，

j

是x，y軸正方向的單位向量，設

a

=(x+2)

i

+y

j

，

b

=(x-2)

i

+y

j

，且滿足|

a

|-|

b

|=2
（1）求點P（x，y）的軌跡E的方程．
（2）若直線l過點F₂（2，0）且法向量為

n

=（t，1），直線與軌跡E交于P、Q兩點．點M（-1，0），無論直線l繞點F₂怎樣轉動，

MP

•

MQ

是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由．并求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）條件“|

a

|-|

b

|=2”可以看成是動點到兩定點的距離之差為2，聯想雙曲線的定義解決“點P（x，y）的軌跡C”問題，即點P（x，y）的軌跡是以（-2，0），（2，0）為焦點，2a=2的雙曲線，從而解決問題；
（2）設直線l的方程為y=-t（x-2），將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得

MP

•

MQ

值，從而解決問題．

解答：解：（1）由條件“|

a

|-|

b

|=2”知：動點到兩定點的距離之差為2，是雙曲線，
故方程為x2-

y2

3

=1(x≥1)，（（4分）+（1分）定義域）
（2）設直線l的方程為t（x-2）+y=0或y=-t（x-2）（1分）
由

y=-t(x-2) x2- y2 3 =1

得（t²-3）x²-4t²x+4t²+3=0（1分）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由條件得

t2-3≠0 △=16t4-4(t2-3)(4t2+3)=36+36t2＞0 x1+x2= 4t2 t2-3 ＞0 x1x2= 4t2+3 t2-3 ＞0

（只計算△=36+36t²＞01分）
解得t²＞3即t∈(-∞，-

3

)∪(

3

，+∞)（（1分）

MP

 •

MQ

=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂（1分）
=x₁x₂+x₁+x₂+1+t²（x₁-2）（x₂-2）（1分）
=（t²+1）x₁x₂-（2t²-1）（x₁+x₂）+1+4t²（1分）
=

4t4+7t2+3

t2-3

-

8t4+4t2

t2-3

+1+4t2=0（2分）．

點評：（1）平面向量與解析幾何的結合通常涉及軌跡等問題的處理，目標是將幾何問題坐標化、符號化、數量化，從而將推理轉化為運算，或者考慮向量運算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關問題；（2）直線l與點P的軌跡的交點問題，組成方程組解決．