Question

【題目】已知函數，.

（1）若在上為單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）若，且，求證：對定義域內的任意實數，不等式恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據函數單調遞增可得，將問題轉化為在上恒成立；利用導數求解出在的最小值，從而得到的取值范圍；（2）將問題轉化為證明當時，，在和時分別得到需恒成立的不等式；令，通過導數研究單調性，結合可證得結論.

（1）由已知的定義域為

所以

在上單調遞增

對任意，都有

即

令，

當時，；當時，

函數在上單調遞增，在上單調遞減

因為時，總有

（2）當時，

對定義域內的任意正數，不等式恒成立，即時，

因為當時，；當時，，

所以只須證：當時，；當時，

令

令，則

當時，；當時，

所以是的極值點，從而有極小值，即最小值

所以恒成立

在上單調遞增，又因為

所以當時，，即恒成立；

當時，，即恒成立

所以，對定義域內的任意實數，不等式恒成立